Optimização do volume de um paralelepípedo inserto numa pirâmide
Author: António Ribeiro
Date: Março  2007

Na pirâmide quadrangular regular, o lado da base mede 2 e a altura mede 3.
O paralelepípedo tem quatro vértices na base da pirâmide e os restantes nas arestas laterais da pirâmide.
O  comprimento do segmento [FE] mede h.
Mova o selector h no lado esquerdo do applet e relacione  a variação do volume V com a variação da derivada V'.

Prove que as expressões de V e de V' em função de h são as indicadas no applet.

Derivada de V

V'(h) = \frac{8h - 4h^{2}}{3}

Volume do paralelepípedo

em função de h

V(h) = (3-h)(\frac{2}{3}h)^{2}

E = (-2.5, 3)
C = (-1, 1)
F_1 = (-5, 3)
A = Point(xAxis)
T = Midpoint(A, C)
G = (-5, 0.5)
v = Segment(F_1, G)
H = Point(v)
h = Segment(H, F_1)
h_2: 3 / 2.5 h
f(x) = (2 x / 3)² (3 - x)
V = Function(f, 0, 3)
g(x) = f'(x)
B = Point(xAxis)
a = Segment(A, B)
b = Segment(B, C)
D = (-3, 1)
c = Segment(C, D)
d = Segment(D, A)
e = Segment(E, A)
h_1 = Segment(E, C)
i = Segment(B, E)
j = Segment(D, E)
k = OrthogonalLine(H, yAxis)
p = Segment(A, C)
F: E + H - F_1
t = Segment(E, F)
f_1(x) = V'(x)
T1: "V'(" + h_2 + ") = " + (V'(h_2))
T7: "V(" + h_2 + ") = " + (V(h_2))
T8: "h = " + h_2
P: (h_2, V(h_2))
U = Midpoint(B, C)
a_1 = Segment(U, E)
m = OrthogonalLine(F, v)
I = Intersect(m, a_1)
n = OrthogonalLine(I, r)
J = Intersect(n, i)
l = OrthogonalLine(J, v)
K = Intersect(l, e)
L = Intersect(n, h_1)
M: K + L - J
N: K + T - F
O: L + T - F
Q: J + T - F
R: M + T - F
S, n_1, q, j_1, k_1 = Polygon(N, Q, J, K)
W, q_1, o, l_1, j_2 = Polygon(Q, O, L, J)
Y, j_3, l_2, m_1, k_2 = Polygon(J, L, M, K)
s = Segment(N, R)
b_1 = Segment(R, O)
c_1 = Segment(R, M)